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Algebra e geometria

Algebra e Geometria
Corso di Laurea Triennale in Informatica

SCV0002
Docente: Brunella Gerla


CFU SSD LEZIONI ESERCITAZIONI ANNO LINGUA
9 MAT/01 64 12 I Italiano


Obiettivi dell’insegnamento e risultati di apprendimento attesi
Conoscenza e capacità di comprensione
Il corso si propone di fornire le conoscenze di base di argomenti elementari di matematica discreta, come insiemi, funzioni, equazioni d’equivalenza e strutture algebriche, e di algebra lineare come sistemi lineari e matrici e cenni di geometria analitica. Tali conoscenze, oltre ad essere parte integrante del bagaglio culturale di uno studente di una laurea di carattere scientifico, sono rivolte a formare la capacità di astrazione dei problemi e delle informazioni attraverso la rappresentazione simbolica e matematica. Il corso affiancherà agli aspetti più teorici e metodologici della matematica, quegli aspetti più tecnici che permettono la risoluzione di esercizi e che rendono la matematica uno strumento di comprensione e di calcolo in vari settori applicativi.
Conoscenza e capacità di comprensione applicate
Durante il corso verrà data enfasi agli esempi legati ad applicazioni informatiche e soprattutto algoritmiche. In particolare si sottolineano aspetti relativi alla comprensione di proprietà di numeri naturali quali ricorsione e induzione. Una parte importante del corso sarà dedicata allo svolgimento di esercizi, sempre sottolineando che per riuscire a svolgere un esercizio c’è bisogno della totale comprensione dell’argomento trattato.
Autonomia di giudizio e abilità comunicative
I risultati di apprendimento attesi comprendono non solo la conoscenza dei termini e dei risultati tecnici, ma anche la capacità di saper affrontare una argomentazione matematica riuscendo a distinguere premesse e conclusioni. In questa ottica il linguaggio tecnico dello studente dovrà ampliarsi in modo da poter esprimere concetti matematici astratti.
Capacità di apprendere
Durante il corso verrà sottolineata l’importanza di un metodo di studio appropriato, in particolare cercando di favorire uno studio critico (come per esempio chiedersi sempre il perché di certe affermazioni matematiche), in modo da rendere autoevidenti allo studente le proprie lacune.

Prerequisiti
Non è previsto alcun prerequisito.

Contenuti e programma del corso

  • Teoremi e metodi di dimostrazione: implicazione, contronominale, dimostrazioni per assurdo. Quantificatori e negazione. Principio di induzione, esempi e esercizi. (4h)
  • Insiemi, elementi di un insieme, appartenenza e inclusione, sottoinsiemi, insieme delle parti di un insieme,cardinalita' di un insieme finito, diagrammi di Venn. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione e complemento. Coppie e prodotto cartesiano. Contare gli elementi degli insiemi finiti. (4h)
  • Relazioni, relazioni binarie, proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Relazioni d'equivalenza, classe d'equivalenza, insieme quoziente. Partizioni, teorema fondamentale delle relazioni d'equivalenza. Relazioni d'ordine, esempi: divisibilità tra numeri interi, prefissi, inclusioni tra insiemi. Elementi non confrontabili. Massimo e minimo. Estremo inferiore e estremo superiore. (6h)
  • Funzioni, dominio e codominio, immagine e preimmagine. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Inversa di una funzione biettiva. Composizione di funzioni. (4h)
  • Elementi di calcolo combinatorio: disposizioni semplici e con ripetizione, fattoriale, coefficiente binomiale. Disposizioni e combinazioni, contare le funzioni e le funzioni iniettive. (6h)
  • Algoritmo euclideo delle divisioni successive per il calcolo del MCD, numeri primi, teorema fondamentale dell'aritmetica (con dimostrazione), teorema sull'esistenza di infiniti numeri primi (con dimostrazione). (4h)
  • Numerazione in base n. Relazione di congruenza modulo n. Risolvere le congruenze lineari. Insieme delle classi di resto modulo n. (6h)
  • Operazioni su un insieme, proprietà commutativa e associativa, elemento neutro e elementi invertibili. Elementi invertibili in Zm, funzione di Eulero. (4h)
  • Monoidi e gruppi. Esempi numerici e non (monoide delle parole, gruppo delle permutazioni). Definizione di sottogruppo, esempi. Esempio del gruppo delle matrici quadrate di ordine 2, con determinante diverso da zero. Sottogruppi, relazione d'equivalenza determinata da un sottogruppo, laterale destro, teorema di Lagrange. (4h)
  • Anelli, esempi (anello degli interi modulo n, anello delle matrici su R, anello dei polinomi). Elementi divisori dello 0 e invertibili. Campi, esempi (campo dei reali, campo dei complessi). (4h)
  • Matrici su un campo, operazioni tra matrici. Determinante e Rango (metodo di Laplace e Sarrus, metodo di Kronecker per il rango). Inversa di una matrice. Riduzione in forma triangolare. (4h)
  • Sistemi di equazioni lineari (omogenei e non omogenei): Metodo di Gauss-Jordan. Teorema di Rouchè-Capelli, Teorema di Cramer. (8h)
  • Definizione di spazio vettoriale ed esempi. Sottospazi vettoriali. Insieme linearmente indipendente. Sottospazi generati. Spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Dimensione di un sottospazio. (4h)
  • Applicazioni lineari: matrice associata ad una applicazione lineare. Nucleo e immagine di una applicazione lineare. Teorema di nullità più rango. (6h)
  • Autovalori e autovettori, molteplicità geometrica e algebrica di un autovalore, basi formate da autovettori. (4h)

Tipologia delle attività didattiche
Lezioni frontali (64h) + Esercitazioni (12h)

Testi e materiale didattico
Dispense e slide delle lezioni sul sito di e-learning.

Gli argomenti del corso sono tratti dai libri:

  • Matematica Discreta, di C. Delizia, P. Longobardi, M. Maj, C. Nicontera, McGraw-Hill.
  • Introduzione alla Matematica Discreta, di M Bianchi e A. Gillio, McGraw-Hill.
  • Elementi di Matematica Discreta e Algebra Lineare di F. Dalla Volta e M. Rigoli, Pearson Education, 2007.

Modalità di verifica dell’apprendimento
L’esame consiste in una prova scritta centrata sulla risoluzione degli esercizi relativi agli argomenti trattati nel corso, seguita da una prova orale nella quale, oltre ad eventualmente integrare e correggere gli esercizi della prova scritta, ci si concentrerà sull'accertamento dell’acquisizione e della corretta comprensione dei contenuti del corso, tramite l’esposizione delle dimostrazioni di 2 teoremi (a scelta dello studente) studiati nel corso. Per poter accedere alla prova orale bisognerà ottenere la sufficienza alla prova scritta. La prova orale potrà essere sostenuta anche in una sessione d’esame diversa dalla prova scritta. Esempi di prove scritte passate si trovano sul sito di e-learning del corso.
L’attribuzione del voto finale sarà determinata da una valutazione complessiva del voto dello scritto e del voto dell’orale.
A metà e alla fine del corso è possibile sostenere delle prove scritte in itinere, che (se superate entrambe) valgono come parte scritta dell’esame e permettono di accedere alla prova orale.

Orario di ricevimento
Il docente è a disposizione per il ricevimento studenti un pomeriggio a settimana (da determinare in base all’orario del corso) e su appuntamento da concordare tramite posta elettronica.

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